Verdünnen von Lösungen

Verdünnen vs. Mischen

Verdünnen und Mischen sind zentrale Schritte bei der Herstellung von Lösungen, da sie massgeblich die Konzentration, Homogenität und damit die Eignung einer Lösung für ihren vorgesehenen Verwendungszweck bestimmen.

Hintergrund:Beispiel: Verdünnen vs. Mischen

Verdünnung 1:3 1 Teil Lösung + 2 Teile Wasser

Mischen 1:2 1 Teil Lösung + 2 Teile Wasser

Fotoserie: Eine konzentrierte, farbige Lösung wird mit Wasser zu einer helleren Lösung verdünnt
Verdünnung einer konzentrierten Lösung mit Wasser
Hintergrund:Beispiel: 1:2-Mischung vs. 1:2-Verdünnung

Bei einer Verdünnung 1:2 wird 1 Volumeneinheit einer konzentrierten Lösung (z. B. 10 M Puffer) mit 1 Volumeneinheit eines Lösungsmittels (meist Wasser) gemischt und so die gewünschte Konzentration (in diesem Fall 5 M) erreicht.

Schema, das eine 1:2-Verdünnung einer 1:2-Mischung gegenüberstellt
Beispiel: Verdünnung vs. Mischen

Bei einer Mischung 1:2 ergibt die Mischung aus einer Volumeneinheit eines Stoffes mit zwei Volumeneinheiten eines anderen Stoffes drei Volumeneinheiten (1 + 2 = 3). Eine 1:2-Mischung entspricht demnach einer 1:3-Verdünnung.

Hintergrund:Beispiel: 1:6-Mischung vs. 1:6-Verdünnung

Bei einer Verdünnung 1:6 werden zu einer Volumeneinheit konzentrierter Lösung 5 Volumeneinheiten des Lösungsmittels Wasser hinzugegeben (1 + 5 = 6).

Schema, das eine 1:6-Verdünnung einer 1:6-Mischung gegenüberstellt
Verdünnung vs. Mischen

Bei einer Mischung 1:6 werden zu einer Volumeneinheit konzentrierter Lösung 6 Volumeneinheiten des Lösungsmittels Wasser hinzugegeben (1 + 6 = 7). Das entspricht einer 1:7-Verdünnung.

Einfache Verdünnung

Eine definierte Menge einer konzentrierten Lösung wird mit einer bestimmten Menge Lösungsmittel gemischt. Die neue Konzentration berechnet sich durch die Verdünnungsgleichung (Grundformel):

Berechnung des Verdünnungsfaktors mit Volumen

Der Verdünnungsfaktor (VF) gibt an, um welchen Faktor die Konzentration einer Lösung im Vergleich zur ursprünglichen Stammlösung verringert wurde. Er entspricht dem Verhältnis des Gesamtvolumens nach der Verdünnung zum eingesetzten Volumen der Stammlösung.

Formel:

VF=VEndvolumenVProbe\text{VF} = \frac{V_{\text{Endvolumen}}}{V_{\text{Probe}}}

oder:

VF=VProbe+VLo¨sungsmittelVProbe\text{VF} = \frac{V_{\text{Probe}} + V_{\text{Lösungsmittel}}}{V_{\text{Probe}}}

Eine Lösung mit VF 10 ist also 1:10 verdünnt: 1 Teil Probe auf 10 Teile Endvolumen. Für die Konzentrationen gilt entsprechend:

VF=C1C2\text{VF} = \frac{C_1}{C_2}
Hintergrund:Beispiel: Einfache Verdünnung

Gegeben:

  • Probenvolumen (Stocklösung): 100 µL
  • Lösungsmittel: 900 µL
  • Endvolumen: 100 µL + 900 µL = 1000 µL

Berechnung:

VF=1000 μL100 μL=10\text{VF} = \frac{1000\,\mu L}{100\,\mu L} = 10

Ergebnis: Die Lösung wurde 10-fach (im Verhältnis 1:10) verdünnt.

Serielle Verdünnung

Eine Lösung wird schrittweise mehrfach verdünnt, wobei die einzelnen Verdünnungsstufen systematisch zu einer Verdünnungsreihe zusammengefasst werden.

Eine Verdünnungsreihe dient der schrittweisen Herabsenkung der Konzentration einer Lösung. Verdünnungsreihen können nach zwei unterschiedlichen Methoden hergestellt werden.

Geometrische Verdünnungsreihe

Schema einer geometrischen Verdünnungsreihe: Aus jedem Röhrchen wird ein konstantes Volumen in das nächste überführt
Geometrische Verdünnungsreihe

Bei der geometrischen Verdünnungsreihe handelt es sich um eine systematische Verdünnungsmethode, bei der die Konzentration in jedem Schritt um einen konstanten Faktor reduziert wird (z. B. 1:10, 1:2), wobei das Verhältnis von zu verdünnender Lösung (Transfervolumen) und zugegebenem Lösungsmittel (Vorlegevolumen) konstant bleibt.

Aus einer Stammlösung wird ein definiertes Volumen entnommen, mit Lösungsmittel verdünnt und anschliessend als Ausgang für die nächste Verdünnungsstufe verwendet. Die Konzentration nimmt dadurch exponentiell ab.

Die Berechnung des Verdünnungsfaktors erfolgt mithilfe der folgenden Formel:

VF=(c0cn)1n−1\text{VF} = \left( \frac{c_0}{c_n} \right)^{\frac{1}{n - 1}}
  • VF\text{VF}: Verdünnungsfaktor
  • c0c_0: Anfangskonzentration
  • cnc_n: Endkonzentration
  • nn: Anzahl der Verdünnungsstufen (einschliesslich Ausgangsprobe)

n−1n-1 bedeutet, dass die erste Konzentration der Standardreihe mittels der Methode der einfachen Verdünnung hergestellt wird. Die Formel setzt voraus, dass alle Stufen denselben Faktor verwenden (gleichmässige, geometrische Schritte).

Mini-Beispiel: Soll eine Reihe von c0=1c_0 = 1 mol/L auf cn=0,001c_n = 0{,}001 mol/L in n=4n = 4 Stufen führen, ergibt sich VF=(1/0,001)1/3=10003=10\text{VF} = (1/0{,}001)^{1/3} = \sqrt[3]{1000} = 10 – also drei 1:10-Verdünnungsschritte.

Um die Konzentration nach einer bestimmten Verdünnungsstufe zu berechnen, wird folgende Gleichung verwendet:

Cn=C1Faktor n−1C_n = \frac{C_1}{\text{Faktor}^{\,n-1}}
  • C1C_1: Startkonzentration
  • CnC_n: Konzentration nach dem nn-ten Schritt

Der Exponent n−1n-1 wird gewählt, da die Konzentration im ersten Schritt n=1n=1 der Ausgangskonzentration entspricht und somit noch keine Verdünnung erfolgt ist. Praktisch wird die erste Konzentration jedoch oft mit einem angepassten Verdünnungsfaktor vorbereitet, da die Stammlösung üblicherweise sehr hochkonzentriert vorliegt.

Die Berechnung des Transfervolumens erfolgt mit folgender Formel:

Transfervolumen=VorlegevolumenVerdu¨nnungsfaktor−1\text{Transfervolumen} = \frac{\text{Vorlegevolumen}}{\text{Verdünnungsfaktor} - 1}

Diese Formel folgt direkt aus der oben eingeführten Konvention VF=VEnd/VTransfer\text{VF} = V_{\text{End}}/V_{\text{Transfer}}, denn das Endvolumen eines Schritts ist Vorlegevolumen + Transfervolumen (Kontrolle im Beispiel unten: 200 μL+50 μL=250 μL200\,\mu L + 50\,\mu L = 250\,\mu L und 250/50=5250/50 = 5 ✓).

Das Transfervolumen ist das Volumen, das in jedem Schritt transferiert wird.

Das Vorlegevolumen ist das Volumen, das am Ende eines einzelnen Verdünnungsschritts erreicht wird. Es wird vom Anwender je nach Bedarf festgelegt – beispielsweise basierend auf dem benötigten Endvolumen für einen Versuch. Dabei ist das Totvolumen stets zu berücksichtigen. Das Vorlegevolumen ergibt sich somit aus:

Vorlegevolumen=gewu¨nschtes Endvolumen+Totvolumen\text{Vorlegevolumen} = \text{gewünschtes Endvolumen} + \text{Totvolumen}

Das Totvolumen (dead volume) bezeichnet das Flüssigkeitsvolumen, das nach einer Abgabe oder einem Transfer im Gefäss zurückbleibt und nicht mehr entnommen werden kann. Dieses Volumen haftet z. B. an den Wänden oder im Boden einer Tube und steht für die eigentliche Anwendung nicht zur Verfügung.

Hintergrund:Beispiel: Geometrische Verdünnung mit Faktor 5
  • Vorlegevolumen: 200 µL
  • Verdünnungsfaktor: 5

Berechnung des Transfervolumens:

Transfervolumen=200 μL5−1=50 μL\text{Transfervolumen} = \frac{200\,\mu L}{5-1} = 50\,\mu L

Durchführung:

Es werden 200 µL Verdünnungsmittel in eine Reihe von Reaktionsgefässen vorgelegt. Anschliessend werden jeweils 50 µL ausgehend von der Stammlösung (1. Reaktionsgefäss) bzw. den nachfolgenden Verdünnungsstufen transferiert und gründlich vermischt.

Merkmale der geometrischen Verdünnungsreihe:

  • Die Konzentration nimmt exponentiell ab (z. B. 1, 1/10, 1/100, 1/1000 …).
  • Der Verdünnungsfaktor bleibt in jedem Schritt konstant.
  • Es wird jeweils ein konstantes Volumen aus der vorherigen Lösung entnommen und mit einem konstanten Volumen Verdünnungsmittel auf ein definiertes Endvolumen gebracht.
  • Die Reihe ist besonders nützlich, wenn grosse Konzentrationsbereiche mit wenigen Schritten abgedeckt werden sollen.

Arithmetische Verdünnungsreihe

Schema einer arithmetischen Verdünnungsreihe: Jede Konzentration wird direkt aus der Stammlösung hergestellt
Arithmetische Verdünnungsreihe

Eine arithmetische Verdünnungsreihe ist eine Folge von Lösungen, bei der sich die Konzentrationen in gleichmässigen Schritten verringern. Das bedeutet, dass der Unterschied zwischen den Konzentrationen zweier aufeinanderfolgender Lösungen konstant ist. Im Gegensatz zur geometrischen Verdünnungsreihe, bei der jede Lösung aus der vorherigen verdünnt wird, werden bei der arithmetischen Methode gezielt definierte Konzentrationen direkt aus der Stammlösung hergestellt (siehe Abbildung).

Die Berechnung der Konzentration erfolgt mit der folgenden – bereits bekannten – Formel:

Vergleich der Verdünnungsreihen

Merkmal Arithmetisch Geometrisch
Konzentrationsabnahme konstant (z. B. –0,2 mol/L) proportional (z. B. ÷10)
Verlauf linear exponentiell / logarithmisch
Anwendung selten, bei kleinen Konzentrationsbereichen weit verbreitet, grosse Konzentrationsbereiche
Beispiel 1,0 → 0,8 → 0,6 → 0,4 mol/L 1,0 → 0,1 → 0,01 → 0,001 mol/L

Rechenaufgabe: Eine arithmetische Verdünnungsreihe soll von 1,0 mol/L auf 0,0 mol/L in 5 Schritten erstellt werden. Wie gross ist die Konzentrationsdifferenz pro Schritt (in mol/L)?

Konzentration einer Stammlösung berechnen

Um die Konzentration einer Stammlösung (c₁) zu berechnen, kann man den Verdünnungsweg nutzen: Man geht schrittweise über den Verdünnungsfaktor zurück. Wenn die Lösung mehrmals hintereinander verdünnt wurde, multipliziert man die einzelnen Verdünnungsfaktoren miteinander, um den Gesamtverdünnungsfaktor (GVF) zu erhalten.

Grundformel

C1⋅V1=C2⋅V2C_1 \cdot V_1 = C_2 \cdot V_2

Mehrstufige Verdünnung

GVF=F1⋅F2⋅F3⋯\text{GVF} = F_1 \cdot F_2 \cdot F_3 \cdots

Wenn man nn Verdünnungsschritte hintereinander ausführt, ergibt sich für die Konzentration nach dem nn-ten Schritt:

Cn=C1Faktor n−1C_n = \frac{C_1}{\text{Faktor}^{\,n-1}} C1=Cn⋅Faktor n−1C_1 = C_n \cdot \text{Faktor}^{\,n-1}

Dabei gilt:

  • C1C_1: Startkonzentration
  • CnC_n: Konzentration nach dem nn-ten Schritt
  • Der Exponent n−1n - 1 entsteht, weil der erste Schritt noch keine Verdünnung darstellt, sondern der Ausgangspunkt ist.

Beispiel: Konzentration der Stammlösung berechnen

Zur Herstellung einer 300-pg/mL-Standardlösung wurden zunächst 2 µL der ursprünglichen Lösung auf 7500 µL mit Puffer verdünnt. In einem zweiten Schritt wurden 100 µL der ersten Verdünnung mit 3,9 mL Puffer gemischt.

Schema der zweistufigen Verdünnung: Stammlösung mit unbekannter Konzentration, daraus 2 µL auf 7500 µL (1. Verdünnung, unbekannt in ng/mL), daraus 100 µL auf 4000 µL (2. Verdünnung, gesucht in pg/mL)
Zweistufige Verdünnung – gesucht sind die Konzentrationen und Verdünnungsfaktoren

Schritt 1: Berechnung des Verdünnungsfaktors des zweiten Schritts (2°VF): 100 µL der ersten Verdünnung werden mit 3,9 mL Puffer gemischt.

Mischung: 100 µL der verdünnten Lösung (1. Verdünnung) werden mit 3900 µL Lösungsmittel gemischt. Die Konzentration der fertigen Lösung beträgt 300 pg/mL.

Endvolumen:

100 μL+3900 μL=4000 μL100\,\mu L + 3900\,\mu L = 4000\,\mu L

Methode 1: Verdünnungsformel

c1°=c2⋅V2V1=300 pg/mL⋅4000 μL100 μL=12000 pg/mL=12 ng/mLc_{1°} = \frac{c_{2} \cdot V_{2}}{V_{1}} = \frac{300\,\text{pg/mL} \cdot 4000\,\mu L}{100\,\mu L} = 12000\,\text{pg/mL} = 12\,\text{ng/mL}

Methode 2: Verdünnungsfaktor

Verdu¨nnungsfaktor (VF)=4000 μL100 μL=40\text{Verdünnungsfaktor (VF)} = \frac{4000\,\mu L}{100\,\mu L} = 40

Die Lösung wurde 40-fach (1:40) verdünnt.

Konzentration der 1° Verd.=300 pg/mL⋅40=12000 pg/mL=12 ng/mL\text{Konzentration der 1° Verd.} = 300\,\text{pg/mL} \cdot 40 = 12000\,\text{pg/mL} = 12\,\text{ng/mL}

Schritt 2: Berechnung des Verdünnungsfaktors des ersten Schritts (1°VF), nachdem 2 µL der Stocklösung auf ein Endvolumen von 7500 µL mit Lösungsmittel verdünnt wurden.

Mischung: 2 µL der Stocklösung werden mit 7498 µL Lösungsmittel gemischt. Die Konzentration der Lösung beträgt 12 ng/mL (Schritt 1).

Endvolumen:

2 μL+7498 μL=7500 μL2\,\mu L + 7498\,\mu L = 7500\,\mu L

Methode 1: Verdünnungsformel

cStamm=c1°⋅VEndVProbe=12 ng/mL⋅7500 μL2 μL=45000 ng/mL=45 μg/mLc_{\text{Stamm}} = \frac{c_{1°} \cdot V_{\text{End}}}{V_{\text{Probe}}} = \frac{12\,\text{ng/mL} \cdot 7500\,\mu L}{2\,\mu L} = 45000\,\text{ng/mL} = 45\,\mu\text{g/mL}

Methode 2: Verdünnungsfaktor

VF=7500 μL2 μL=3750\text{VF} = \frac{7500\,\mu L}{2\,\mu L} = 3750

Die Lösung wurde 3750-fach (1:3750) verdünnt.

12 ng/mL⋅3750=45000 ng/mL=45 μg/mL12\,\text{ng/mL} \cdot 3750 = 45000\,\text{ng/mL} = 45\,\mu\text{g/mL}

Schlussfolgerung:

  • Konzentration der 2. (finalen) Verdünnung: 300 pg/mL
  • Konzentration nach der 1. Verdünnung: 12 ng/mL
  • Konzentration der Stammlösung: 45 µg/mL
  • Verdünnungsfaktor: Durch die zweistufige Verdünnung mit den Faktoren 40 und 3750 ergibt sich ein kumulativer Verdünnungsfaktor von 1:150000. Dies bedeutet, dass die Konzentration der ursprünglichen Stammlösung 150000-mal höher ist als die der finalen Verdünnung.
Gelöstes Schema der zweistufigen Verdünnung: Stammlösung 45 µg/mL, nach der 1. Verdünnung (VF 3750) 12 ng/mL, nach der 2. Verdünnung (VF 40) 300 pg/mL
Zweistufige Verdünnung – Lösung mit allen Konzentrationen und Verdünnungsfaktoren